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$s=2\varpi {\frac {t}{T}}R,\quad$d’où$\quad 2\varpi {\frac {t}{T}}={\frac {s}{R}}\,;$

en conséquence, on aura

$r={\frac {R}{2}}\left(e^{\frac {s}{R}}+e^{-{\frac {s}{R}}}\right)\,;$

et conséquemment, pour l’excès du rayon vecteur de la trajectoire sur le rayon du cercle

$r-R={\frac {R}{2}}\left(e^{\frac {s}{R}}+e^{-{\frac {s}{R}}}-2\right).$

Or, on sait que, si l’on prend pour l’axe des $x$ d’une chaînette uniformément pesante l’horizontale menée par le point le plus bas, et ce même point pour origine, on aura, pour l’équation de cette courbe,

$y={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}-2\right),$

$a$ étant le paramètre de la chaînette, c’est-à-dire, la longueur de son rayon de courbure au point le plus bas ; en comparant donc cette valeur de $y$ à celle de $r-R$ on en conclura que la trajectoire décrite par le centre de la sphère mobile n’est autre chose que la courbe qu’on obtiendrait en décrivant d’abord une chaînette dont le paramètre serait égal au rayon $R,$ en menant sa tangente au point le plus bas, enveloppant avec cette tangente le cercle dont le rayon est $R,$ de telle sorte que ce point le plus bas répondît au lieu du centre de la sphère mobile à l’instant de la rupture du fil, et dirigeant enfin toutes ses ordonnées suivant les prolongemens des rayons de ce cercle.