![{\displaystyle \operatorname {d} t={\frac {T}{2\varpi }}{\frac {\operatorname {d} r}{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2041d73b0eb6b4890a67d559eeb1bfba6dca5f)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle t={\frac {T}{2\varpi }}\operatorname {Log} .\left(r+{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d35b92853b02b04af1011c20d44c947a5edafcb)
Si l’on compte les temps de l’instant où le fil se rompt, on aura
![{\displaystyle 0={\frac {T}{2\varpi }}\operatorname {Log} .R+C\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b867a88635dbdc973f3c7bfb5d108f0287ecec29)
d’où, en retranchant,
![{\displaystyle t={\frac {T}{2\varpi }}\operatorname {Log} .{\frac {r+{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}}{R}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d8834c2fc03b5348e3afa5656cab7ef95b5a58)
ce qui donne d’abord
![{\displaystyle r+{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}=Re^{2\varpi {\frac {t}{T}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593d0f580b8a6cd2b2d89e1aec8a5f3846941aed)
et ensuite
![{\displaystyle r-{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}=Re^{-2\varpi {\frac {t}{T}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596f10a2c8fce69a6f09b52d90b5d832a1250d50)
d’où, en ajoutant et divisant par 2,
![{\displaystyle r={\frac {R}{2}}\left(e^{2\varpi {\frac {t}{T}}}+e^{-2\varpi {\frac {t}{T}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65eea946cf91fa51287dc7f26fbee087f43c240)
Si l’on nomme
l’arc de la circonférence dont le rayon est
et le centre est
compté depuis le point où le fil s’est rompu jusqu’à celui que détermine l’axe du canal, à l’époque
on aura