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Si l’on désigne par $V$ la vîtesse initiale, répondant à la distance $R,$ on aura

$V^{2}={\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}R^{2}+C\,;$

d’où, en retranchant, transposant et extrayant les racines,

${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}={\sqrt {V^{2}+{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}\left(r^{2}-R^{2}\right)}}\,;$

c’est cette valeur qu’il faudrait substituer dans

$N={\frac {4\varpi }{T}}.{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}},$

pour avoir la valeur de la pression $N,$ en fonction de la distance $r.$

On en tire

$\operatorname {d} t={\frac {\operatorname {d} r}{\sqrt {V^{2}+{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}\left(r^{2}-R^{2}\right)}}},$

qu’il suffit d’intégrer de nouveau pour avoir l’équation entre $t$ et $r,$ dans laquelle substituant ensuite pour $t$ sa valeur

$t={\frac {T}{2\varpi }}(\theta -\alpha ),$

on aura l’équation polaire de la trajectoire décrite.

Supposons que la sphère soit liée au point $\mathrm {A}$ par un fils inextensible d’une longueur égale à $R\,;$ il est clair qu’alors son centre décrira uniformément une circonférence dont $R$ sera le rayon et qui aura ce point $\mathrm {A}$ pour centre. Supposons qu’au moment où ce rayon $R$ fait un angle $\alpha$ avec l’axe des abscisses, le fil vienne subitement à se rompre, on se trouvera alors dans le cas particulier du problème qui nous occupe, où il n’y aurait pas de vîtesse initiale ; l’équation ci-dessus deviendra donc alors simplement