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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-y{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=2r{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}\,;\qquad$(3)

on reprendra ensuite les deux équations

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {Ny}{r}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {Nx}{r}}-g,$

en faisant la somme de leurs produits respectifs par $-y$ et par $+x,$ et en se rappelant que $x^{2}+y^{2}=r^{2},$ on aura

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-y{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=Nr-gx=Nr-gr\operatorname {Cos} .\theta ,$

comparant cette équation à l’équation (3) on en conclura

$Nr-gr\operatorname {Cos} .\theta =2r{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}},$

et, par suite,

$N=2{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}+g\operatorname {Cos} .\theta .$

Cette pression du tube sur la sphère se compose de deux parties ; l’une, exprimée par $g\operatorname {Cos} .\theta ,$ est l’effort qu’il doit exercer sur cette sphère pour faire équilibre à la composante de la pesanteur perpendiculaire au tube, tandis que sa composante $g\operatorname {Sin} .\theta ,$ dans le sens du tube, tend à mouvoir cette sphère dans ce sens, sans exercer aucune pression ; et voilà pourquoi cette composante fait partie de la valeur de ${\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}.$ L’autre portion

$2{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}},$

de la force $N,$ est celle par laquelle le tube en pressant la sphère,