![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-y{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=2r{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ed5f404cfba8dbaeebafd5e698fd43b50a4aa7)
(3)
on reprendra ensuite les deux équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {Ny}{r}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {Nx}{r}}-g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d327ac042832eed122080ece3b9c26bd1a5532)
en faisant la somme de leurs produits respectifs par
et par
et en se rappelant que
on aura
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-y{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=Nr-gx=Nr-gr\operatorname {Cos} .\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041ce3fbaf7ac856d671f9a18a09bd7f9d15c309)
comparant cette équation à l’équation (3) on en conclura
![{\displaystyle Nr-gr\operatorname {Cos} .\theta =2r{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d09feda59e825629c3e4a1192cb6c4622529ad)
et, par suite,
![{\displaystyle N=2{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}+g\operatorname {Cos} .\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8477d476dd089c1dd41eab12920445d1e349ecdd)
Cette pression du tube sur la sphère se compose de deux parties ; l’une, exprimée par
est l’effort qu’il doit exercer sur cette sphère pour faire équilibre à la composante de la pesanteur perpendiculaire au tube, tandis que sa composante
dans le sens du tube, tend à mouvoir cette sphère dans ce sens, sans exercer aucune pression ; et voilà pourquoi cette composante fait partie de la valeur de
L’autre portion
![{\displaystyle 2{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}+r{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b4e589502d039453114f1c4f8ddfb1591adf54)
de la force
est celle par laquelle le tube en pressant la sphère,