Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/47

En remplaçant, dans cette dernière équation, $\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}$ par sa valeur (1) et réduisant, il viendra

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=r{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}},$

ce qui change l’équation (2) en

${\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}=r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}-g\operatorname {Sin} .\theta =r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}-g\operatorname {Sin} .\left(\alpha +2\varpi {\frac {t}{T}}\right)\,;$

d’où l’on voit que l’équation (1) du mémoire cité est fausse par l’omission du terme $r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}$ qui est précisément la force centrifuge qui aurait lieu sur une circonférence du rayon $r$, la vîtesse angulaire de rotation étant, comme celle du tube, dans ce problème, ${\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\,;$ car la vîtesse sur la circonférence étant alors $r{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}},$ le quarré de cette vîtesse $r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2},$ divisée par le rayon $r$, donne précisément $r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}$ pour la force centrifuge^[1].

Il ne serait peut-être pas facile de montrer, à priori, que c’est

1. Je reçois à l’instant une lettre de M. Th. Barrois, de Lille, qui contient des remarques toutes pareilles à celles de M. Ampère. M. Barrois pense que M. Poncelet a coummis une inadvertance, à peu près pareille, dans le calcul de sa roue à aubes courbes, ce qui n’ôte rien d’ailleurs, ajoute-il, au mérite pratique de l’invention. Il est évident que la solution du problème traité à la pag. 359 du précédent volume est entachée d’une pareille erreur.

   Afin de consoler l’auteur ou les auteurs, autant du moins que les torts d’autrui peuvent nous consoler des notres, je saisirai cette occasion pour observer que le petit article que j’ai donné à la pag. 263 de mon xv.^me volume, sur la stabilité de l’équilibre des corps flottans, quelque spécieux, qu’en soient les raisonnemens, est complètement faux de tous points.

   J. D. G.