Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/46

lèles à l’axe des $x$ qui tendent à augmenter l’abscisse, moins celles qui tendent à les diminuer, et faire la même chose à l’égard ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}$ pour les forces parallèles à l’axe des ordonnées.

Or, en considérant les choses comme elles le sont dans la figure, et en admettant que le mouvement de révolution du tube tend à augmenter l’angle $\theta ,$ on voit que la gravité $g,$ dirigée suivant l’ordonnée, tend à la diminuer. Quant aux composantes

$X={\frac {Ny}{r}},\qquad Y={\frac {Nx}{r}},$

de $N$, parallèles aux axes, on voit que la première tend à diminuer l’abscisse du point $\mathrm {M} ,$ tandis que l’autre tend à augmenter son ordonnée. En conséquence les deux équations du mouvement de ce point seront

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {Ny}{r}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {Nx}{r}}-g,$

entre lesquelles il faudra éliminer l’inconnue $N,$ en prenant la somme de leurs produits respectifs par $x$ et par $y$, ce qui donnera

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=-gy=-gr\operatorname {Sin} .\theta \,;\qquad$(1)

on aura d’ailleurs

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;$

d’où en différentiant deux fois consécutivement

$x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=r{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}},$

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}=r{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}.$