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Soit $\mathrm {AB}$ l’axe du tube, tournant dans le plan de la figure, supposé vertical, autour d’un axe horizontal, perpendiculaire à ce plan, et passant par le point $\mathrm {A.}$ L’horizontale $\mathrm {AP}$ étant prise pour l’axe des $x$ et le point $\mathrm {A}$ pour origine ; si $\mathrm {M}$ est le point de $\mathrm {AB}$ où se trouve le centre de la sphère mobile à l’époque $t,$ en abaissant de ce point la perpendiculaire $\mathrm {AP}$ sur l’axe des $x$, désignant par $\alpha$ l’inclinaison du tube à l’origine des temps, par $T$ la durée de sa révolution, par $\theta$ l’angle variable que fait sa direction avec l’axe des $x$, et enfin par $r$ la distance variable du centre de la sphère mobile au centre du mouvement, on aura

$AP=r,\quad PM=y,\quad AM=r,\quad \operatorname {Ang} .PAM=\alpha +2\varpi {\frac {t}{T}}=\theta ,$

$x=r\operatorname {Cos} .\theta ,\qquad y=r\operatorname {Sin} .\theta \,;$

donc

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} r\operatorname {Cos} .\theta -r\operatorname {d} \theta \operatorname {Sin} .\theta ,\operatorname {d} y=\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .\theta +r\operatorname {d} \theta \operatorname {Cos} .\theta ,$

d’où l’on déduit

$\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}\,;\qquad$(1)

formule connue, sur laquelle est fondée la rectification des spirales.

Maintenant, il y a deux forces qui agissent sur le point $\mathrm {M} ,$ et non pas une seule, comme le suppose le mémoire côté. Ces deux forces sont la pesanteur et la pression exercées par le tube sur le mobile ; pression par laquelle ce tube l’oblige de le suivre dans son mouvement. L’intensité de cette dernière force est inconnue, mais sa direction est donnée, puisqu’elle est nécessairement perpendiculaire à la direction du tube, représentée par celle de son axe $\mathrm {AM.}$ En nommant $\mathrm {N}$ cette pression inconnue comme le fait M. Poisson, pour un problème analogue, dans sa Mécanique, tom. I.^er, n.^o 250, pag. 373 et 374, il faudra égaler à ${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}$ les forces paral-