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${\frac {x+c}{2}},{\frac {y}{2}}\,;\qquad {\frac {x-c}{2}},{\frac {y}{2}}\,;$

on aura donc, en prenant tour à tour l’axe des $x$ et celui des $y$ pour axes des momens, et en désignant par $(x',y')$ ) le centre commun de gravité de ces deux rayons vecteurs

${\begin{aligned}&\left(a-{\frac {cx}{a}}\right){\frac {x+c}{2}}+\left(a+{\frac {cx}{a}}\right){\frac {x-c}{2}}=2ax',\\\\&\left(a-{\frac {cx}{a}}\right){\frac {y}{2}}+\left(a+{\frac {cx}{a}}\right){\frac {y}{2}}=2ay'\,;\end{aligned}}$

ou, en développant et réduisant

$ax-{\frac {cx^{2}}{a}}=2ax',\qquad ay=2ay'\,;$

d’où on tirera

$x={\frac {2a^{2}x'}{a^{2}-c^{2}}}={\frac {2a^{2}x'}{b^{2}}},\qquad y=2y'\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation (1), on aura, pour l’équation du lieu cherché,

$\left({\frac {a}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}x'^{2}+\left({\frac {b}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}y'^{2}=\left({\frac {a}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {b}{2}}-{\frac {b}{a}}\right)^{2}\,;\qquad$(3)

ce lieu est donc une autre ellipse, concentrique à la première, ayant ses axes dans les mêmes directions que les siens ; cette ellipse est semblable à l’autre, mais elle est tournée en sens inverse, et ses dimensions sont moitié moindres.

Si l’on veut résoudre le problème analogue pour l’hyperbole, il suffira de changer $b$ en $b{\sqrt {-1}},$ ce qui conduira aux mêmes con-