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$\operatorname {F} x=0,\qquad$(1)

on pourra, d’une infinité de manières différentes, lui faire prendre la forme

$x=A+\operatorname {f} x\,;\qquad$(2)

$A$ étant une fonction des constantes de l’équation (1) et de tant d’autres constantes arbitraires qu’on voudra, lesquelles auront été introduites par la transformation, et pourront aussi se trouver, en tout ou en partie, sous le signe $\operatorname {f}$.

15. En mettant successivement pour $x$, sous ce signe, sa valeur donnée par l’équation (2) elle-même, on aura

$x=A+\operatorname {f} \left(A+\operatorname {f} \left(A+\operatorname {f} \left(A+\ldots \right)\right)\right).\qquad$(3)

16. Si prenant successivement

${\begin{aligned}&x_{1}=A,\\&x_{2}=A+\operatorname {f} A,\\&x_{3}=A+f\left(A+\operatorname {f} A\right),\\&x_{4}=A+f\left(A+f\left(A+\operatorname {f} A\right)\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on aperçoit que les différences consécutives de ces valeurs vont sans cesse en diminuant, soit d’elles-mêmes, soit par une détermination convenable des constantes arbitrairement introduites, on sera fondé à les considérer comme une suite de valeurs de plus en plus approchées de l’inconnue $x$. Si, de plus, ces différences sont alternativement positives et négatives, chacune d’elles sera une limite de l’approximation à laquelle elle se trouvera correspondre.