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$\operatorname {d} p=-{\frac {k\delta \left\{(x-x')\operatorname {d} x+(y-y')\operatorname {d} y+(z-z')\operatorname {d} z\right\}}{\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}},\qquad$(1)

Mais

$(x-x')\operatorname {d} x+(y-y')\operatorname {d} y+(z-z')\operatorname {d} z=0$

doit représenter la différentielle d’une surface quelconque de niveau, ou de l’une des surfaces sphériques concentriques de densité uniforme, ce qui donne $x',y',z'$ constantes. Transportant donc l’origine au point $(x',y',z')$ ou, en d’autres termes, posant $x'=y'=z'=0,$ l’équation (1) deviendra

$\operatorname {d} p=-{\frac {k\delta (x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

ou, en désignant par $r$ le rayon variable des couches de densité uniforme,

$\operatorname {d} p=-{\frac {k\delta .r\operatorname {d} r}{r^{3}}}=-{\frac {k\delta .\operatorname {d} r}{r^{2}}}.\qquad$(2)

Par la condition du problème, qui rend la densité $\delta$ proportionnelle à la pression, on a $p=h\delta ,\ h$ étant une nouvelle constante ; il en résulte $\operatorname {d} p=h\operatorname {d} \delta$ ; d’où, en substituant dans l’équation (2),

$h\operatorname {d} \delta =-{\frac {k\delta \operatorname {d} r}{r^{2}}},\quad$c’est-à-dire,$\quad h{\frac {\operatorname {d} \delta }{\delta }}=-k{\frac {\operatorname {d} r}{r^{2}}}\,;$

d’où, en intégrant

$h\operatorname {Log} .{\frac {\delta }{A}}={\frac {k}{r}},$

et par suite