or, la condition commune au maximum et au minimum de
est
on aura donc, dans ce cas,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c3df984f60eb6abdc10e38b6c7173bdde29496)
équation de laquelle éliminant
, au moyen de la proposée, on aura l’équation en
qui donnera les valeurs de cette variable parmi lesquelles seulement pourront se trouver celles qui rendront
maximum ou minimum.
Il est aisé de conclure de là que si, au contraire, il s’agissait d’assigner les valeurs de
qui rendent
maximum ou minimum, on y parviendrait en éliminant
entre les deux équations
![{\displaystyle S=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0355fb8d900e996c1ba1e1c1dceeffe0d343428b)
ix. Supposons, en second lieu, que l’équation
contienne trois variables
, et qu’il soit question d’assigner, parmi les systèmes de valeurs, en nombre infini, qu’on peut prendre pour
et
, ceux qui rendent
maximum ou minimum. Pour les mêmes raisons que ci-dessus, au lieu de résoudre l’équation par rapport à
, ce qui ramènerait la question au cas des fonctions explicites de deux variables (II), on remarquera que la proposée, en y considérant
comme fonction de
et
, donne (pag. 279) les deux différentielles partielles,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d292d8cb505764d473dede10e00d9064a644bd0)
or, les conditions communes au maximum et au minimum de
sont
; on devra doncavoir, dans ce cas,