![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}\delta z=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b3cd16a6ada55ce95f0d3fee9c771a96431232)
éliminant, entre ces trois équations, deux quelconques des trois variations
la troisième disparaîtra d’elle-même, et l’on aura
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} y}}\right){\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} z}}\right){\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562c7c02032134e40736521c939dec3014ab10a2)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x}}\right){\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9484afbf7c2238ec05addcd34a6562b63e0ba1be)
(18)
équation qui, combinée avec les équations (17), fera connaître les systèmes de valeurs de
parmi lesquels seulement devront se trouver ceux qui rendront la fonction
maximum ou minimum.
vii. Généralement, s’il s’agit de rendre maximum ou minimum une fonction
d’un nombre quelconque de variables
, liées entre elles par un nombre quelconque d’équations
; on égalera séparément à zéro les variations tant de
que de
prises par rapport à toutes les variables
considérées comme fonctions d’une nouvelle variable
on éliminera, entre les équations résultantes, autant des variations
qu’il se pourra ; égalant alors séparément à zéro, dans l’équation finale, les coefficiens des variations restantes, il en résultera des équations en
qui, jointes aux équations ![{\displaystyle V=0,\ V'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a1a7ab3537d62131e8fb1fd5fb478caf6a016e)
se trouveront précisément en nombre égal à celui de ces variables ; et ce sera parmi les systèmes de valeurs de ces mêmes variables, déduits de