Mais, outre que l’équation (9) peut souvent être très difficile ou même impossible à résoudre, par rapport à l’une ou à l’autre des deux variables qu’elle renferme, ce procédé manquerait tout à fait d’élégance et de symétrie, il vaudra donc beaucoup mieux lui substituer le suivant :
Si l’on conçoit une équation arbitraire entre
et une troisième variable
; à l’aide de cette équation et de l’équation (9),
et
et conséquemment
seront des fonctions de la seule variable
et conséquemment la condition commune au maximum et au minimum de
sera, comme ci-dessus (II),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc96d50a21dd023b029e3e935320f656db2803a)
(10)
mais ici
et
ne serons plus indépendans ; car, en différenciant l’équation (9) par rapport à
, on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\delta y=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee1b8ca6fa4742d7a9c3808c7970bd0cdc63f33)
(11)
éliminant donc, entre ces deux équations, une quelconque des deux variations
et
l’autre disparaîtra aussi, et il viendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6228ec185f45885553a5ec8bd75a70111d5b8e7)
(12)
équation qui, combiné avec (9), fera connaître les divers systèmes de valeurs de
et
parmi lesquels seulement pourront se trouver ceux qui rendront un maximum ou minimum.
V. Soit présentement
une fonction de trois variable
liées entre elles par l’équation