d’où l’on voit, à cause de l’indétermination et de l’indépendance des variations
et
, que, si un système de valeurs de
et
tirées des équations (3), ne rend pas nuls à la fois les quatre coefficiens différentiels
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea5df879e92ee3c33ee6fffb1ce38962d030130)
le coefficient différentiel
ne pourra devenir nul quels que soient
et
; et conséquemmenfc ce système de valeurs ne répondra ni à un maximum ni à un minimum de la fonction ![{\displaystyle S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bbb1f0f6ebdfa78b4fed06049640f7386bb44b)
Mais si un système de valeurs de
et
, tirées des équations (3), rend ces quatre coefficiens différentiels nuls, comme ceux qui les précèdent, on trouvera alors
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} s^{4}}}={\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{4}}}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{3}\operatorname {d} y}}\delta x^{3}\delta y+6{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y^{2}}}\delta x^{2}\delta y^{2}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{3}}}\delta x\delta y^{3}+{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} y^{4}}}\delta y^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5ce20deb5ab044ca1b01f73378609da0a0d7ba)
et il pourra y avoir, pour ce système de valeur, maximum ou minimum de la fonction
mais il faudra, pour cela, que la fonction
ou
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{4}}}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{3}\operatorname {d} y}}\delta x^{3}\delta y+6{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y^{2}}}\delta x^{2}\delta y^{2}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{3}}}\delta x\delta y^{3}+{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} y^{4}}}\delta y^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d30095a77fb6353d2fd575c8c72698e61cda32)
(6)
conserve constamment le même signe quelles que soient les variations
et
et il y aura maximum ou minimum suivant que ce signe invariable sera négatif ou positif.
C (6)ette condition sera infailliblement remplie, quels que soient
et
, si les facteurs du premier degré de la fonction (6) sont tous quatre imaginaires ; mais c’est là une circonstance que l’on ne sait point encore exprimer généralement d’une manière simple et symétrique, et sur laquelle nous pourrons revenir dans une autre occasion.