Supposons qu’une valeur de
, tirée de l’équation (2), rende nuls non seulement le coefficient différentiel
mais encore le coefficient différentiel
sans néanmoins rendre nul le coefficient différentiel
; alors, pour cette valeur de
, les conditions (1) se réduisant à
![{\displaystyle X\left\{{\begin{aligned}&maximum\\&minimum\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f11edbff79f717b02429296ea2754c0dc1894d9)
si l’on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{4}X}{\operatorname {d} x^{4}}}{\frac {i^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {\operatorname {d} ^{5}X}{\operatorname {d} x^{5}}}{\frac {i^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots \left\{{\begin{aligned}&<\\&>\end{aligned}}\right\}0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5809f38e95aeb20a7dbc77636762fa99aee68a0)
comme on pourrait toujours prendre
assez petit, sans être nul, pour ne faire dépendre le signe total du développement que du signe de son premier terme qu’on ne saurait ici rendre, à volonté, positif ou négatif, en variant le signe de
il s’ensuit que ce développement serait ou constamment négatif comme l’exige le maximum, ou constamment positif comme l’exige le minimum, pour toutes les valeurs de
jusqu’à zéro ; et, quel que fût le signe de cet accroissement, cetie valeur de
répondrait donc alors, en effet, à un maximum ou à un minimum de la fonction
suivant qu’elle rendrait
négatif ou positif.
Il n’est pas besoin d’aller plus loin pour voir qu’en général, si une valeur de
tirée de l’équation
rend nuls, à la fois, tous les coefficiens différentiels
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}},{\frac {\operatorname {d} ^{4}X}{\operatorname {d} x^{4}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{2n-1}X}{\operatorname {d} x^{2n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87f55f4eb2b5c99267cdb96547d429ccdf64e13)
sans rendre nul le coefficient différentiel
cette valeur de
répondra nécessairement à un maximum ou à un minimum de la