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${\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}={\frac {\left(1+m^{2}\right)x'+2\lambda ^{2}mc}{2\lambda ^{2}c}},\qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}={\frac {mx'^{2}+2\lambda ^{2}cx'}{2\lambda ^{2}c}}\,;$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}={\frac {1+m^{2}}{2\lambda ^{2}c}},\qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}={\frac {mx'+\lambda ^{2}c}{\lambda ^{2}c}},$

$1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}={\frac {1+m^{2}}{4\lambda ^{4}c^{2}}}\left\{x'^{2}+\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)^{2}\right\}\,;$

${\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}$

$=-{\frac {1+m^{2}}{8\lambda ^{6}c^{3}}}\left\{mx'^{3}+\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)^{3}\right\}\,;$

substituant toutes ces valeurs dans les formules (22) et (25), elles deviendront

$\left.{\begin{aligned}&x-x'=-{\frac {x'\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)\left\{x'^{2}+\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)^{2}\right\}}{mx'^{3}+\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)^{3}}},\\\\&y-y'=\\&-{\frac {x'\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)\left\{x'+m\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)^{2}\right\}\left\{x'^{2}+\left(mx+2\lambda ^{2}c\right)^{2}\right\}}{2\lambda ^{2}c\left\{mx'^{3}+\left(mx'+2\lambda ^{2}c\right)^{3}\right\}}}\,;\end{aligned}}\right\}$ (34)

telles sont donc les formules qui, pour une direction initiale donnée du rayon lumineux, feront connaître le lieu, et par suite la distance et la direction de l’image du point rayonnant, pour un œil situé en un point donné quelconque $(x',y')$ de ce rayon.

Mais par ce même point $(x',y')$ viennent passer deux rayons répondant aux deux racines de l’équation (31) et, pour juger de la situation des deux images qui en naîtront, il faudra substituer à la place de $m$, dans nos dernières formules, ses valeurs données par cette équation, lesquelles sont

$m={\frac {-2\lambda ^{2}c\pm {\sqrt {4\lambda ^{2}c\left(y'+\lambda ^{2}c\right)-x'^{2}}}}{x'}}\,;$