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les deux valeurs de $m$ étant alors imaginaires, aucun des rayons émanés du point lumineux ne pourrait parvenir en $(x',y')$. Les rayons émanés de ce point n’embrassent donc pas ici tout le plan vertical qui les contient, comme il arrive pour les rayons rectilignes, dans le cas d’une densité constante ; ils sont circonscrits par une courbe enveloppe, dont l’équation est évidemment

$4\lambda ^{4}c^{2}-\left(x^{2}-4\lambda ^{2}cy\right)=0$

ou bien

$x^{2}=4\lambda ^{2}c\left(y+\lambda ^{2}c\right)\,;\qquad$(32)

équation d’une nouvelle parabole, tournée dans le même sens que celles que décrivent les rayons lumineux, mais dont l’axe est l’axe même des $y\,;$ c’est-à-dire, la verticale conduite par le point rayonnant, et dont ce point est le foyer. Elle ne diffère, au surplus, que par sa position du rayon parabolique qui répond à $m=0$, c’est-à-dire du rayon dont la direction initiale est horizontale. Un œil placé dans l’intérieur de cette courbe limite, verra donc deux images du point rayonnant ; ce point sera tout-à-fait invisible pour un œil situé hors d’elle ; enfin pour un œil situé sur la courbe même, les deux images se confondront en une seule.

xxi. Occupons-nous présentement de la détermination précise de lieu des deux images. L’équation (30), résolue par rapport à $y',$ donne

$y'={\frac {\left(1+m^{2}\right)x'^{2}+4\lambda ^{2}mcx'}{4\lambda ^{2}c}}\,;\qquad$(33)

de sorte que nous avons ici

$X'={\frac {\left(1+m^{2}\right)x'^{2}+4\lambda ^{2}mcx'}{4\lambda ^{2}c}}\,;$

de là résulte