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$T={\frac {(yz+zx+xy){\sqrt {3}}}{4}}\,;$

d’où

$3(yz+zx+xy)=4T{\sqrt {3}}\,;\qquad$(2)

ajoutant cette équation à la somme des équations (1), il viendra

$2(x+y+z)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+4T{\sqrt {3}}\,;$

d’où

$x+y+z={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4T{\sqrt {3}}}{2}}}\,;\qquad$(3)

comme l’a trouvé M. Heichen (Correspondance, tom. V, pag. 238).

Mais on peut désirer d’obtenir, en particulier, chacune des trois longueurs inconnues $x,y,z$ ; et c’est là une chose très-facile. On tire, en effet, des équations (1) et (2)

$3\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+4T{\sqrt {3}}=6x(x+y+z)\,;$

donc, en vertu de la formule (3)

$\left.{\begin{alignedat}{1}x&={\frac {3\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+4T{\sqrt {3}}}{3{\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+8T{\sqrt {3}}}}}}\,;\\\mathrm {on\ aura\ de\ m{\hat {e}}me} &\\y&={\frac {3\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+4T{\sqrt {3}}}{3{\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+8T{\sqrt {3}}}}}},\\\\z&={\frac {3\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+4T{\sqrt {3}}}{3{\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+8T{\sqrt {3}}}}}},\end{alignedat}}\right\}\quad$(4)

Soient prolongées les droites $\mathrm {AO,BO,CO,}$ jusqu’à la rencontre des côtés $\mathrm {BC,CA,AB}$ en $\mathrm {A',B',C'.}$ La droite $\mathrm {OA'}$ divisant en deux parties égales l’angle $\mathrm {BOC,}$ on aura