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$\left({\frac {x}{\lambda ^{2}c}}\right)^{2}+\left({\frac {y+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}c}{{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}c}}\right)^{2}=1\,;$

équation d’une ellipse qui a son centre sur l’axe des $y$, un des sommets de son petit axe à l’origine, et son grand axe double du petit. Son centre est d’ailleurs au-dessus ou au-dessous du point rayonnant, suivant que les branches de la parabole se prolongent vers le bas ou vers le haut. Tel est donc, comme M. Biot en avait déjà fait la remarque, le lieu des sommets des paraboles qui répondent à toutes les directions initiales du rayon lumineux.

Si l’on demande quelle valeur il faut donner à $m$ pour que le rayon lumineux parvienne à un œil situé en $(x',y'),$ on aura, pour déterminer cette valeur, l’équation

$\left(1+m^{2}\right)x'^{2}=4\lambda ^{2}c(y'-mx)\,;\qquad$(30)

c’est-à-dire,

$x'^{2}m^{2}+4\lambda ^{2}cx'm+\left(x'^{2}-4\lambda ^{2}cy'\right)=0\,;\qquad$(31)

ainsi, généralement, il y a deux directions initiales différentes, sous lesquelles un rayon émané du point lumineux peut parvenir à un œil situé dans le plan qui contient tous les rayons^[1].

Nous disons généralement, car si le point $(x',y')$ était choisi de telle sorte qu’on eût

$4\lambda ^{4}c^{2}x'^{2}-x'^{2}\left(x'^{2}-4\lambda ^{2}cy'\right)<0,$

ou, plus simplement,

$4\lambda c^{2}-\left(x'^{2}-4\lambda ^{2}cy'\right)<0,$

1. C’est exactement de la même manière que, dans la balistique, il y a, pour une même charge de poudre, deux inclinaisons différentes de la bouche à feu qui peuvent faire parvenir le projective à un même but donné.