Soient le degré de l’équation proposée, le nombre des termes qui précèdent le premier terme négatif et le plus grand de tous les coefficiens négatifs pris positivement. Si nous trouvons une limite pour le cas le plus défavorable, à plus forte raison pourrons-nous l’admettre pour les cas qui le seront moins.
Or, le cas le plus défavorable est celui où les termes qui suivent le n.ième seraient tous négatifs at auraient tous pour coefficient, et où tous les termes entre le premier et le (n+1).ième seraient nuls ; de sorte qu’il suffit de trouver la plus petite des valeurs de qui puissent satisfaire à l’inégalité
Or, cette inégalité peut être mise sous cette forme
puis sous celle-ci
puis enfin sous cette autre
or, on satisfait évidemment à cette dernière inégalité, en posant
car alors, étant plus grand que l’unité, sera une fraction proprement dite.
étant ainsi , il s’ensuit qu’on doit avoir et par suite,
donc, à plus forte raison, on aura