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juger qu’elles s’y trouvent ; de sorte que l’illusion serait encore la même.

xx. Appliquons présentement ces généralités au cas, déjà considéré ci-dessus, où la densité des couches atmosphériques croît ou décroît proportionnellement à leur élévation. On a vu (xi) qu’alors le rayon lumineux était une parabole ayant pour équation

$\left(1+m^{2}\right)x^{2}=4\lambda ^{2}c(y-mx)\,;\qquad$(12)

équation que l’on peut écrire ainsi

$\left\{x+{\frac {2\lambda ^{2}mc}{1+m^{2}}}\right\}^{2}={\frac {4\lambda ^{2}c}{1+m^{2}}}\left\{y+{\frac {\lambda ^{2}m^{2}c}{1+m^{2}}}\right\}.\qquad$(26)

On voit par là que les équations du sommet de la parabole sont

$x=-{\frac {2\lambda ^{2}mc}{1+m^{2}}},\qquad y=-{\frac {\lambda ^{2}m^{2}c}{1+m^{2}}},\qquad$(27)

et que son paramètre est

${\frac {4\lambda ^{2}c}{1+m^{2}}}\,;\qquad$(28)

de sorte que la grandeur de ce paramètre est en raison composée de la longueur $c$ qui fixe la variation plus ou moins rapide de la densité des couches et du quarré du cosinus de l’angle que fait avec l’horizon la direction initiale du rayon. On voit de plus que les branches de cette parabole se prolongeront vers le haut ou vers le bas, suivant que $c$ sera positif ou négatif, c’est-à-dire suivant que la densité du milieu sera croissante ou décroissante de bas en haut.

Si l’on élimine $m$ entre les équations (27), il viendra

$x^{2}+4y^{2}+4\lambda ^{2}cy=0,\qquad$(29)

ou bien