![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\right){\frac {h}{1}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b27416fe664d5bbf57124f9309b47cbfc289303)
mais, d’un autre côté, par l’intermédiaire de
et
étant aussi fonction de
et
, doit devenir, dans les mêmes circonstances,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}S&+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+\ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec5ff38cd42e133ede240e97e37fb1b6856a516)
or, ces deux développemens doivent être identiquement les mêmes, quels que soient la grandeur et le rapport des accroissemens
et
; donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1b4dd98330e63a942e5ecf5d224b729560e0fc)
(57)
Si
était fonction de trois quantités
dont chacune fût fonction de
et
, on trouverait semblablement
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} R}}{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} Q}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} R}}{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} y}}\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f1af3b5cec5b88e097d6c336d3f5f1bacae02f)
(58)
et ainsi de suite. En rapprochant ces résultats des formules (53), (54), (55) on en conclura que, pour obtenir les coefficiens différentiels partiels d’une fonction de tant de quantités qu’on voudra, qui sont toutes fonctions de deux variables, il suffit d’opérer tour à tour, par rapport à chaque variable, comme si elle était seule.
Si,
étant une fonction de trois variables
était une fonction de
on trouverait, par de semblables considérations,