![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}&+\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}&+2\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\right\}{\frac {gh}{1.2}}+\ldots \\\\&+\left\{{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} P^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}\right\}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d125c332160407b8b12e53f695b4fe13f50101)
mais, d’un autre côté,
étant, par l’intermédiaire de
fonction de
et
, doit, dans les mêmes circonstances, devenir
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}&+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+\ldots \\\\&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+\ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f65286c61922e32f23af2449a4f4a5118768d7)
voilà donc deux développemens qui, quels que soient la grandeur et le rapport des deux accroissemens
et
doivent être identiquement les mêmes ; ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} P}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf82a147467926a130e0cdd0d30d0e8da7e453db)
(56)
c’est-à-dire que les coefficiens différentiels partiels d’une fonction d’une quantité qui est elle-même fonction de deux variables, s’obtient en multipliant respectivement le coefficient différentiel de la fonction, par rapport à cette quantité, par les coefficiens différentiels partiels de cette quantité relatifs aux deux variables.
Soient
et
deux fonctions données quelconques de deux variables
et
et soit
une fonction donnée quelconque de