![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\operatorname {f} (x+g,y+h,z,\ldots )=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots &\\\\+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {h}{1}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {gh}{1.2}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}{\frac {g^{2}h}{1.2.3}}+\ldots &\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {h^{2}}{1.2}}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {gh^{2}}{1.2.3}}+\ldots &\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}}{\frac {h^{3}}{1.2.3}}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\mathrm {(48)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a6e4a9b06212cd4816d21b6d4a21844bf987c5)
Remarquons présentement que l’on peut passer de la fonction
à la fonction
de deux manières qui, bien que différentes en apparence, doivent néanmoins conduire au même résultat ; on peut, en effet, comme nous venons de le faire, supposer que, dans la première fonction,
se change en
, et qu’ensuite, dans la fonction résultante,
se change en
; ou bien on peut supposer que, dans cette même première fonction, c’est d’abord
qui se change en
, et qu’ensuite dans la fonction résultante,
se change en
; et le développement exécuté suivant cette dernière hypothèse devra être identiquement le même que le développement résultant de la première, quels que soient d’ailleurs les grandeur et rapport des accroissemens
et
donc, en particulier, le coefficient de
devra être le même dans l’un et dans l’autre. D’un autre côté, le second développement devra différer du premier en ce que
et
y auront pris respectivement les places de
et
et vice versâ ; donc, puisque, dans le premier,
est le coefficient de
ce coeffctent sera
dans le second ; or, nous venons de voir que ces deux coefficiens doivent être identiquement les mêmes ; on doit donc avoir identiquement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} x}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279117659e29a0c7ca4d8f9a8cc5de88ded3c68f)
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