![{\displaystyle X+\operatorname {d} X{\frac {g}{1}}+\operatorname {d} ^{2}X{\frac {g^{2}}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}X{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23eed227016be62108accedfd3837b97cc0db67)
![{\displaystyle =A(x+g)^{\alpha }+B(x+g)^{\beta }+C(x+g)^{\gamma }+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e041670b5544d62d1c005433a0757efb57440298)
or, puisqu’on a
![{\displaystyle X=Ax^{\alpha }+Bx^{\beta }+Cx^{\gamma }+\ldots =\operatorname {f} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43112229a1e3dca582aa2b8c28bbea37a3ef2546)
on doit avoir
![{\displaystyle A(x+g)^{\alpha }+B(x+g)^{\beta }+C(x+g)^{\gamma }+\ldots =\operatorname {f} (x+g)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbc81df339630f05de82986d4d0452d814a348a)
donc finalement
![{\displaystyle \operatorname {f} (x+g)=X+\operatorname {d} X{\frac {g}{1}}+\operatorname {d} ^{2}X{\frac {g^{2}}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}X{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\operatorname {d} ^{4}X{\frac {g^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d90903f74a5a1f04c7894d5d6912928cedb7d0)
ou bien, en remettant pour
sa valeur ![{\displaystyle \operatorname {f} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7159e215a064342692d34f5e257700403378a6d)
![{\displaystyle \operatorname {f} (x+g)=\operatorname {f} x+\operatorname {d} .\operatorname {f} x{\frac {g}{1}}+\operatorname {d} ^{2}.\operatorname {f} x{\frac {g^{2}}{1.2}}+\operatorname {d} ^{3}.\operatorname {f} x{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd309e73b8c6caea89c5885ddf832a344e6cb14)
(44)
c’est en cela que consiste le Théorème de Taylor, qui se trouve ainsi très-simplement et très-rigoureusement démontré pour toute fonction développable en une suite de monomes ; c’est-à-dire pour toutes les fonctions connues, algébriques ou transcendantes. Il est clair d’ailleurs qu’on pourrait écrire
![{\displaystyle \operatorname {f} (x+g)=X+{\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930358e50f4a69cf70fb83b945b3ae99ea3ece6e)
(45)
nous aurons souvent besoin d’employer ce développement sous cette dernière forme.
Dans la formule (44),
est ce qu’on appelle l’état primitif de la fonction ; la constante quelconque
est dite l’accroissement ou la différence de la variable ; et
est ce qu’on appelle l’état varié de la fonction. Cette formule (44) donne donc le dévelop-