qu’au lieu de
on geut écrire
, on pourrait aussi, au lieu de
ou
, écrire
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}}{\operatorname {d} x}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b64081ef2815f52f7937ff5767f7b2c5d95714e)
ou simplement
![{\displaystyle \quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6b6c634aed7e7a949c3d0268cab189da322a32)
De même, au lieu de
ou
on pourrait écrire
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}}{\operatorname {d} x}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8023e8261471a0b680a0eef675585f27947431a)
ou simplement
![{\displaystyle \quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3db6381424924a75fac393ce6aca3307c1e8e1d)
et ainsi de suite. Alors la série de fonctions, dont il a été question ci-dessus, serait dénotée comme il suit :
![{\displaystyle X,\ {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{n}X}{\operatorname {d} x^{n}}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187bfe0b99571d02744a2e2c7644f2ef0e697f82)
mais dans le cas présent, où il n’est question que de fonctions d’une seule variable, ce serait là, comme nous l’avons déjà remarqué, une complication tout à fait sans objet.
Puisqu’en général
il s’ensuit que, si
est une fonction rationnelle et entière de
, du m.ième degré, sa première dérivée ne sera plus que du (m-1).ième degré seulement, sa seconde dérivée du (m-2).ième, la troisième du (m-3).ième et ainsi de suite ; de sorte qu’en général
ne sera plus que du (m-n).ième degré. La m.ième dérivée sera donc d’un degré nul, c’est-à-dire constante ; et, par suite, toutes les dérivées ultérieures seront égales à zéro. Dans tous les autres cas, la fonction
aura une infinité de dérivées effectives.
Soit, en général,
![{\displaystyle X=Ax^{\alpha }+Bx^{\beta }+Cx^{\gamma }+\ldots =\operatorname {f} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16149326b66d72483c56af5b177e0aec4e5c07e)
étant des constantes quelconques, po-