![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x-x'={\frac {{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}}{{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}}}\\\\&y-y'={\frac {{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}}{{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}}}\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cab40068a5da84d9cce35529cbc12d0baaeede)
(22)
on déduira donc de ces formules générales, dans chaque cas particulier, les valeurs des coordonnées
du lieu de l’image du point lumineux, vu du point
valeurs dans lesquelles il faudra d’ailleurs substituer pour
sa valeur tirée de l’équation (15).
Si l’on représente par
et
les distances réelles et apparentes de l’œil au point rayonnant, et par
et
les inclinaisons à l’horizon des droites menées respectivement de l’oeil à ce point et à son image, on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&r={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},\\&\operatorname {Tang} .\theta ={\frac {y'}{x'}}\,;\end{aligned}}\right\}\ (\mathrm {23} )\quad \left.{\begin{aligned}&r'={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}},\\&\operatorname {Tang} .\theta '={\frac {y-y'}{x-x'}}\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde027171e1995ec5effa4ad0b03b5019c2c2463)
(24)
en substituant donc, dans ces dernières formules, pour
et
leurs valeurs (22), on aura
![{\displaystyle x'={\frac {-{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}{{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}}},\ \operatorname {Tang} .\theta '={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c7ae4f8af598b4b9e7cbaf9d92cad7fd4e4b5a)
(25)
La comparaison des formules (23) et (25) fera connaître si le point lumineux est vu au-dessus ou au-dessous de sa véritable place, plus près ou plus loin de l’œil qu’il ne l’est réellement