ce qui donnera, en substituant dans la valeur de ![{\displaystyle \operatorname {d} .XX'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143c8d6666d19f0ff944329b6a3bd609ea614145)
![{\displaystyle \operatorname {d} .XX'=\left(X'_{1}+X'_{2}+X'_{3}+\ldots \right)\operatorname {d} X+X\left(\operatorname {d} X'_{1}+\operatorname {d} X'_{2}+\operatorname {d} X'_{3}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f50415075e36eb5b916262111d32588feb21cd9)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {d} .XX'=X'\operatorname {d} X+X\operatorname {d} X'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40e44366c3746f86770e7cb2bca6172ecfcd96e)
ainsi l’équation (9), et conséquemment l’équation (8), a encore lieu, lors même que l’un des deux facteurs
et
est un polynome.
Supposons présentement que la fonction
soit aussi un polynome, de telle sorte que l’on ait
![{\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36c75288631672971b5ff68fb11ddce5d8e982d)
étant des monomes ; on aura
![{\displaystyle XX'=X_{1}X'+X_{2}X'+X_{3}X'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c937632cdf5d8ec84a1ee356fffecde841a2eeb1)
d’où on conclura (2)
![{\displaystyle \operatorname {d} X=\operatorname {d} X_{1}+\operatorname {d} X_{2}+\operatorname {d} X_{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4c6b719bcbf298c80eab9b9bf08da527998950)
![{\displaystyle \operatorname {d} .XX'=\operatorname {d} .X_{1}X'+\operatorname {d} .X_{2}X'+\operatorname {d} .X_{3}X'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090e1c8d722947647394018abc152e6e2f3ca7f8)
mais, d’après ce qui vient d’être dit sur la dérivée du produit de deux facteurs dont un seul est polynome, on a (9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} .X_{1}X'=X'\operatorname {d} X_{1}+X_{1}\operatorname {d} X',\\&\operatorname {d} .X_{2}X'=X'\operatorname {d} X_{2}+X_{2}\operatorname {d} X',\\&\operatorname {d} .X_{3}X'=X'\operatorname {d} X_{3}+X_{3}\operatorname {d} X'\,;\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2c0d8195e5b2cc01b41c0b3ea0712991804db2)
ce qui donnera, en substituant dans la valeur de ![{\displaystyle \operatorname {d} .XX',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e924ce2234c4dba39da195ba3f509c8634d6078)