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$y-y'=-{\frac {{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}}{{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}}}.\qquad$(20)

Si présentement on prend la variation de l’équation (15), on aura, en divisant toujours par $\delta m,$

${\frac {\delta y'}{\delta m}}={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}\,;\qquad$(21)

d’un autre côté, si nous supposons que le point $(x'+\delta x',y'+\delta y'),$ est sur la normale au rayon lumineux en $(x',y'),$ nous aurons

$1+{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta y'}{\delta x'}}=0,\quad$ou bien (16),$\quad 1+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta y'}{\delta x'}}=0,$

où, en multipliant par ${\frac {\delta x'}{\delta m}}$,

${\frac {\delta x'}{\delta m}}+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\delta y'}{\delta m}}=0\,;$

mettant dans cette dernière équation pour ${\frac {\delta y'}{\delta m}}$ sa valeur donnée par l’équation (21), elle deviendra

$\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}\right\}{\frac {\delta x'}{\delta m}}+{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}=0\,;$

tirant enfin de cette dernière la valeur de ${\frac {\delta x'}{\delta m}},$ pour la substituer dans les formules (19) et (20), celles-ci deviendront