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$\operatorname {d} X,\qquad \operatorname {d} (a+bx),\qquad \operatorname {d} {\frac {a^{2}+x^{2}}{a^{2}-x^{2}}},\qquad \operatorname {d} {\sqrt {a^{2}+x^{2}}},$

indiqueront les dérivées respectives des fonctions

$X,\qquad (a+bx),\qquad {\frac {a^{2}+x^{2}}{a^{2}-x^{2}}},\qquad {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,;$

dans tous les autres cas nous ferons suivre la caractéristique $\operatorname {d}$ d’un point destiné à rappeler que cette caractéristique porte sur l’ensemble des facteurs qui la suivent. Ainsi, par exemple,

$\operatorname {d} .x^{m},\qquad \operatorname {d} .(a+x)^{m},\qquad \operatorname {d} .(a+x)(b+x),\qquad \operatorname {d} .ax^{m}{\sqrt {b^{2}+x^{2}}},$

indiqueront les dérivées respectives des fonctions

$x^{m},\qquad (a+x)^{m},\qquad (a+x)(b+x),\qquad ax^{m}{\sqrt {b^{2}+x^{2}}}.$

On voit, d’après ces conventions, que $\operatorname {d} .x^{m}$ n’est pas la même chose que $\operatorname {d} x^{m}$ qu’on emploie comme abrégé de $(\operatorname {d} x)^{m},$ pareillement $\operatorname {d} .(a+x)(b+x)$ diffère de $\operatorname {d} (a+x)(b+x)$ en ce que la première de ces expressions est la dérivée du produit $(a+x)(b+x),$ tandis que la seconde est le produit de la dérivée de $a+x$ par le facteur $b+x.$ Au surplus, pour éviter toute équivoque, il vaut mieux écrire cette dernière expression comme il suit : $(b+x)\operatorname {d} (a+x)$^[1].

On voit d’après ces conventions que, si l’on pose

1. Nous croirions superflu de faire remarquer que la caractéristique $\operatorname {d}$, tout comme le signe radical, est un symbole d’opération et non de quantité, et ne doit pas conséquemment être prise pour un facteur, si nous ne voyons que, dans le Commentaire du R. P. Paulian sur les Infiniment petits du marquis de L’Hopital (pag. 263), le bon jésuite s’y est mépris.