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$y'=X',\qquad$(15)

d’où

${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\,;\qquad$(16)

en conséquence, l’équation de la tangente en ce point, normale à la trajectoire au même point, et contenant ainsi le centre de courbure cherché, sera

$y-y'={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}(x-x'),\qquad$(17)

ou encore

$y-X'={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}(x-x').\qquad$(18)

Supposons présentement que le point $(x',y')$ se change en $(x'+\delta x',y'+\delta y')\,;$ et soit $m+\delta m$ la valeur que prend $m$ pour ce nouveau point. La variation de l’équation (17) de la tangente, dans laquelle il faudra traiter comme constantes les coordonnées $x$ et $y$ du centre de courbure, sera, en observant que $X'$ est fonction de $x'$ et $m$ seulement, divisant par $\delta m$ et réduisant,

$-{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}=\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}\right\}(x-x')$

d’où

$x-x'=-{\frac {\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}{{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}}}.\qquad$(19)

et par suite (17)