![{\displaystyle y'=X',\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724fdbc7fdd5b4ccb7a8e995ae1eff27600a26b3)
(15)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f77935aea36b1006a892c153bd032ee0deef5a4)
(16)
en conséquence, l’équation de la tangente en ce point, normale à la trajectoire au même point, et contenant ainsi le centre de courbure cherché, sera
![{\displaystyle y-y'={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}(x-x'),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcf8e71d18648cb57d679500912280a842d765d)
(17)
ou encore
![{\displaystyle y-X'={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x'}}(x-x').\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc6b1bc73af4d5620fc94a0f6538dd994887698)
(18)
Supposons présentement que le point
se change en
et soit
la valeur que prend
pour ce nouveau point. La variation de l’équation (17) de la tangente, dans laquelle il faudra traiter comme constantes les coordonnées
et
du centre de courbure, sera, en observant que
est fonction de
et
seulement, divisant par
et réduisant,
![{\displaystyle -{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}=\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}\right\}(x-x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6feb838c076333128e3498ad0b9d55f103b100a9)
d’où
![{\displaystyle x-x'=-{\frac {\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} m}}{{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} m}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {\delta x'}{\delta m}}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f4226efc907abdb9e8662d13d7e43f33a2ce05)
(19)
et par suite (17)