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Lagrange, la limite de l’erreur dont cette approximation se trouve aflectée.

Je désire que l’essai qu’on va lire soit jugé propre là remédier en partie à ces divers inconvéniens ; il renferme l’exposé de la méthode d’approximation de Newton, telle, à peu près, que j’ai coutume de la présenter dans mes cours.

Pour plus de simplicité et de briéveté je supposerai constamment, dans tout ce qui va suivre, que l’équation proposée n’a point de racines égales, et que celle de ses racines dont on veut poursuivre l’approximation est une racine positive. On sait, effet. £et, que la question peut toujours être réduite à ces termes.

Soit l’équation numérique proposée, de degré quelconque,

$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +Gx^{2}+Hx+K=\operatorname {F} x=0.\qquad$(1)

Supposons que l’on sache de cette équation que, parmi ses racines réelles, positives, inconnues, il en est une, et une seule $r$, très-peu différente d’un nombre donné $p$ que, pour fixer les idées, nous supposerons plus grand que cette racine inconnue. Soit $\xi$ ce qu’il faudrait rigoureusement retrancher à $p$ pour avoir $r$ ; posons $x=p-\xi$ ; il viendra, en substituant dans (1),

$A(p-\xi )^{m}+B(p-\xi )^{m-1}+C(p-\xi )^{m-2}+\ldots$

$+G(p-\xi )^{2}+H(p-\xi )+K=0\,;\qquad$(2)

équation du même degré en \xi que la proposée en $x$, et dont les racines sont les $m$ restes qu’on obtient en retranchant tour à tour de $p$ toutes les racines de la proposée. Au nombre de ses racines se trouve donc, en particulier, ce qu’il faut retrancher à $p$ pour avoir la racine $r$ ; mais si, pour obtenir cette quantité, il nous fallait résoudfe l’équation (2), nous n’aurions fait ainsi que déplacer une difficulté qu’il s’agit, au contraire, d’éluder.

Pour y parvenir observons que, puisqu’une seule des racines de l’équation (1) est peu différente de $p$, une seule des racines