Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/192

${\begin{aligned}S&=4\varpi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\\\Sigma &=2\varpi \left(r^{2}-x^{2}\right)+4\varpi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\\V&=2\varpi x\left(r^{2}-x^{2}\right).\end{aligned}}$

De là on tire, par différentiation,

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=&4\varpi {\frac {r^{2}-2x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}},&\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=&4\varpi x.{\frac {2x^{2}-3r^{2}}{\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} \Sigma }{\operatorname {d} x}}=&4\varpi \left\{{\frac {r^{2}-2x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}-x\right\},&\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} x^{2}}}=&4\varpi \left\{{\frac {x\left(r^{2}-6x^{2}\right)}{\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}}-1\right\},\\\\{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}=&2\varpi \left(r^{2}-3x^{2}\right)\,;&\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}V}{\operatorname {d} x^{2}}}=&-12\varpi x.\end{alignedat}}$

En égalant les différentielles premières à zéro, on obtient successivement

$\left.{\begin{aligned}&x={\frac {r}{\sqrt {2}}},\\\\&x=r{\sqrt {\frac {3\pm {\sqrt {-11}}}{10}}},\\\\&x={\frac {r}{\sqrt {3}}},\end{aligned}}\right\}{\text{d’où}}\left\{{\begin{alignedat}{2}S=&2\varpi r^{2},&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=&-16\varpi ,\\\\\Sigma =&&{\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} x^{2}}}=&\\\\V=&4\varpi \left({\frac {r}{\sqrt {3}}}\right)^{3},&{\frac {\operatorname {d} ^{2}V}{\operatorname {d} x^{2}}}=&-4\varpi \left(1+{\frac {3}{2{\sqrt {2}}}}\right).\end{alignedat}}\right.$

Ainsi l’on voit, en résumé, 1.^o qu’il n’y a proprement ni maximum ni minimum pour la surface totale, puisque, pour ce cas, la hauteur du cylindre est imaginaire ; 2.^o que la hauteur du cylindre, dont la surface latérale est maximum, est égale au côté du quarré inscrit à un grand cercle de la sphère, et que cette surface latérale est alors double de celle d’un grand cercle ; 3.^o enfin, que la hauteur du cylindre de plus grand volume qu’on puisse inscrire à une sphère donnée est les deux tiers du côté du triangle équilatéral inscrit à un grand cercle de la sphère, et que ce volume maximum est triple de celui de la sphère qui aurait cette même hauteur pour diamètre.