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$\operatorname {d} x=\lambda {\sqrt {c}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {\lambda ^{2}m^{2}c+\left(1+m^{2}\right)y}}},$

dont l’intégrale sera

$x+B={\frac {2\lambda {\sqrt {c}}}{1+m^{2}}}{\sqrt {\lambda ^{2}m^{2}c+\left(1+m^{2}\right)y}}\,;$

$B$ étant la constante arbitraire. En exprimant donc que $x$ et $y$ doivent être nuls en même temps, on aura

$B={\frac {2\lambda {\sqrt {c}}}{1+m^{2}}}.\lambda m{\sqrt {c}}\,;$

d’où, en substituant

$x=-{\frac {2\lambda {\sqrt {c}}}{1+m^{2}}}\left\{\lambda m{\sqrt {c}}-{\sqrt {\lambda ^{2}m^{2}c+\left(1+m^{2}\right)y}}\right\}.$

En chassant le dénominateur, transposant et faisant disparaître le radical, il vient, en réduisant,

$\left(1+m^{2}\right)x^{2}=4\lambda ^{2}c(y-mx)\,;\qquad$(12)

équation d’une parabole dont l’axe est vertical, dont la concavité regarde le côté vers lequel la densité va croissant, et qui a une courbure d’autant moindre que cette densité varie moins rapidement^[1].

Ainsi se trouvent démontrées les réciproques des deux propositions que nous avons établies ci-dessus.

1. Cette équation est exactement la même que celle de la trajectoire des projectives dans le vide, et on ne doit pas en être surpris, puisqu’ici, comme là, il s’agit d’une force d’impulsion combinée avec une force accélératrice constante.