![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\varphi (x),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11498dab39d5a181a05ee29369ed97876587fe48)
d’où
![{\displaystyle \quad m=\varphi '(0)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e2f961ccfbb2a5ff70f353ec418e43484bf1dc)
substituant ces valeurs dans l’équation (6), elle deviendra
![{\displaystyle \lambda ^{2}\left\{\varphi '^{2}(x)-\varphi '^{2}(0)\right\}=\left\{1+\varphi '^{2}(0)\right\}u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d35d613e05bbf54c8f85cbc525a841f94c0b2c)
d’où on tirera
![{\displaystyle u={\frac {\lambda ^{2}\left\{\varphi '^{2}(x)-\varphi '^{2}(0)\right\}}{1+\varphi '^{2}(0)}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba38b73a1424161cfca4543f7ba8a46f983270e5)
(10)
mettant donc pour
, dans cette dernière formule ; sa valeur en
tirée de l’équation (9), on obtiendra ainsi la valeur de
en fonction de
, c’est-à-dire l’équation de la caractéristique.
x. Donnons des exemples de l’application de ce procédé. Supposons d’abord que l’observation ait donné, pour la figure du rayon, une droite ayant pour équation
![{\displaystyle y=\varphi (x)=\mu x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c6b75f75938ccfd3f9098f7ddba6f40dfe53f2)
il en résultera
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\varphi '(x)=\mu ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371a175270556788b8ea9ba73fc0f879a7dd1842)
d’où
![{\displaystyle \quad m=\varphi '(0)=\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c820da43321170a91dfedd780d07eb2e6162c0db)
substituant ces valeurs dans la formule (10), elle deviendra
![{\displaystyle u={\frac {\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-\mu ^{2}\right)}{1+\mu ^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e3be447840e3ed80b2a1edc9f486d36a3eff72)
résultat qui ne renferme plus
et qui nous apprend qu’ici la caractéristique est l’axe des
ou une parallèle à cet axe ; ce qui revient à dire que les rayons de lumière non verticaux ne sauraient être rectilignes que dans un milieu de densité constante, ce qui était d’ailleurs facile à prévoir.