Puisqu’à chaque valeur de il ne saurait répondre qu’une seule valeur de , il n’en répondra qu’une non plus de et l’équation (7) prouve qu’il n’en répondra également qu’une seule de ainsi, jamais deux branches de la courbe, affectée par un même rayon, ne pourront être tangentes l’une à l’autre. Cette même équation (7) prouve, en outre, que et sont constamment de même signe, qu’ils croissent et décroissent, deviennent nuls et infinis en même temps ; ce qui revient à dire qu’aux maxima et minima de densité du milieu répondent des points d’inflexion du. rayon, et que la courbure de ce rayon devient infinie pour les points où la tangente à la caractéristique devient horizontale.
vii. On voit qu’au moyen de l’équation (8) la caractéristique étant donnée, on peut en conclure la nature de la courbe affectée par le rayon. On peut aussi, à l’aide de la même équation, se proposer de résoudre la question inverse, c’est-à-dire, celle où l’on demanderait quelle caractéristique, et conséquemment quelle nature de milieu, peut donner naissance a un rayon dont la nature et la situation sont données ; et nous traiterons d’autant plus volontiers cette question, avant l’autre, qu’elle n’a besoin pour être résolue, que de la simple application du calcul différentiel, tandis que la résolution de la première réclame impérieusement l’emploi du calcul intégral ; mais voyons auparavant, comment on peut déduire, de l’observation directe, la figure d’un rayon lumineux.
viii. Concevons que, dans une plaine d’une certaine étendue, à peu près horizontale, on ait tracé une rigole rectiligne, assez profonde pour qu’en y introduisant de l’eau, le fond n’en soit découvert en aucun point ; on aura ainsi une surface rigoureusement
