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gente tabulaire de l’angle que fait la direction initiale du rayon lumineux avec l’axe des $x$ ; alors on devra avoir à la fois, $y=0$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=m$ ; et puisque nous sommes convenus de faire constamment passer la caractéristique par l’origine, on aura aussi alors $u=0.$ En conséquence l’équation (4) deviendra

$m^{2}\left(w^{2}-A\right)=A,$

d’où

$A={\frac {m^{2}w^{2}}{1+m^{2}}},\qquad w^{2}-A={\frac {w^{2}}{1+m^{2}}}\,;$

ce qui donnera, en substituant,

$w^{2}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=m^{2}w^{2}+4\left(1+m^{2}\right)k^{2}u\,;$

posant donc, une fois pour tout, pour abréger

${\frac {w}{2k}}=\lambda ,\qquad$(5)

cette équation deviendra

$\lambda ^{2}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=\lambda ^{2}m^{2}+\left(1+m^{2}\right)u\,;\qquad$(6)

ce qui donnera, en différentiant,

$2\lambda ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=\left(1+m^{2}\right){\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\,;\qquad$(7)

on tirera d’ailleurs de l’équation (6)

$\operatorname {d} x={\frac {\lambda \operatorname {d} y}{\sqrt {\lambda ^{2}m^{2}+\left(1+m^{2}\right)u}}}\,;\qquad$(8)