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gle donné, alors le point $\mathrm {D}$ sera le foyer d’une parabole inscrite à ce triangle, et l’on aura (6)

$\mathrm {P'A''=A''\alpha ,\qquad P'B''=B''\beta ,\qquad P'C''=C''\gamma } .$

Soit menée la droite $\mathrm {DE,}$ parallèle à $\mathrm {\gamma P'} \,;$ elle sera perpendiculaire à la tangente $\mathrm {AB} \,;$ et, en supposant qu’elle coupe $\alpha '\beta '\gamma '$ en $\mathrm {E}$ et $\mathrm {AB}$ en $\mathrm {F,}$ on aura $\mathrm {DF=FE,}$ car $\mathrm {\gamma C''=C''P'} \,;$ d’où il suit que le point $\mathrm {E}$ est situé sur la directrice de la parabole, et que par conséquent la droite $\alpha '\beta '\gamma '$ est elle-même cette directrice ; donc

« Les directrices de toutes les paraboles inscrites à un même triangle donné $\mathrm {ABC}$ se coupent toutes en un même point $\mathrm {P'}$, intersection des trois hauteurs de ce triangle ; et Les intersections des trois hauteurs de tous les triangles circonscrits à une même parabole sont toutes situées sur la directrice de cette courbe^[1] ».

En remarquant que quatre droites données sur un plan peuvent être touchées par une même parabole, on conclura de là la démonstration du 4.^e théorème de la pag. 302 du précédent volume, savoir :

« Dans les quatre triangles que forment trois à trois quatre droites tracées sur un même plan, les points de concours des trois hauteurs appartiennent tous quatre à une même droite^[2] ».

20.

En observant que les pieds $\mathrm {F\ldots }$ des perpendiculaires abaissées du foyer $\mathrm {D}$ sur les directions des côtés du triangle ABC appar-

1. C’est le théorème 29, proposé à démontrer à la pag. 191 du II.^me volume du Journal de M. Crelle.
2. C’est le théorème 8 de l’endroit cité du Journal de M. Crelle.