Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/55

ellipse circonscrite au triangle $\mathrm {ABC,}$ extérieur à cette ellipse ou sur son périmètre même, et vice-versâ ».

§. 12.

De ce théorème on en déduit un autre encore plus général :

Par une projection centrale ou perspective, sur un plan quelconque, la figure dont il vient d’être question se modifie comme il suit :

1.^o Le triangle donné devient un triangle quelconque $\mathrm {ABC}$ (fig. 5) ; la plus petite ellipse circonscrite devient une conique quelconque $\mathrm {S}$ circonscrite au nouveau triangle ; les tangentes à l’ellipse, par les sommets du triangle, lesquelles sont parallèles aux côtés respectivement opposés, deviennent des tangentes à la conique $\mathrm {S}$ par les sommets du nouveau triangle, lesquelles rencontrent les directions des côtés respectivement opposés de ce triangle en trois points $\mathrm {A',B',C'} ,$ appartenant à une même droite, laquelle forme, avec les côtés du triangle $\mathrm {ABC,}$ un quadrilatère complet dont ces trois tangentes sont les diagonales.

2.^o Toutes les paraboles touchant les trois côtés du triangle donné deviennent des coniques inscrites à ce quadrilatère complet ;

3.^o Les droites $\mathrm {A} a,\mathrm {B} b,\mathrm {C} c$ joignant les sommets $\mathrm {A,B,C}$ du triangle inscrit aux sommets respectivement opposés $a,b,c$ du triangle circonscrit, formé par les tangentes aux sommets du premier, diagonales du quadrilatère complet, se coupent toutes trois en un même point $\mathrm {S} ,$ pôle de la droite $\mathrm {A'B'C',}$ relativement à la conique circonscrite au triangle $\mathrm {ABC} \,;$ enfin les polaires de ce point $\mathrm {S,}$ relatives aux coniques inscrites au quadrilatère complet, enveloppent cette même conique circonscrite au triangle $\mathrm {ABC.}$ Donc

« 1.^o Étant donné un quadrilatère complet, ses côtés pris trois à trois forment quatre triangles ; et on peut inscrire à ce quadrilatère une infinité de coniques différentes ; 2.^o les droites $\mathrm {A} \alpha ,\mathrm {B} \beta ,\mathrm {C} \gamma$ menées par les points de contact de l’une de ces coni-