Soit prolongée la perpendiculaire au-delà de d’une quantité et soient menées coupant en , qui sera parallèle à et d’une longueur moitié moindre, et enfin d’après cette construction on aura et, par suite, en outre les angles tous deux égaux à l’angle seront conséquemment égaux entre eux. il résulte de tout cela que les points sont les deux foyers d’une ellipse tangente en au côté laquelle a son centre en et son grand axe égal au diamètre du cercle dont le point est le centre ; d’où il résulte qu’elle touche ce cercle aux deux extrémités de son grand axe ; et, comme ce que nous venons de prouver, relativement au côté du triangle, se prouverait également des deux autres, on a le théorème suivant :
« 1.o Chacun des points de l’intérieur d’un triangle peut être considéré comme l’un des foyers d’une ellipse inscrite à ce triangle ;
2.o Les pieds des perpendiculaires abaissées des deux foyers d’une ellipse sur ses tangentes sont tous situés sur une même circonférence, ayant le grand axe de cette ellipse pour diamètre ;
3.o Un angle étant arbitrairement circonscrit à une ellipse, les droites menées de ses deux foyers au sommet de cet angle font des angles respectivement égaux avec ses deux côtés ».
En conséquence de cette dernière propriété et de l’égalité des angles les triangles rectangles sont respectivement semblables aux triangles rectangles ce qui donne
et, par suite,
