![{\displaystyle \left({\frac {a}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {a'}{r'}}\right)^{2}=1,\qquad \left({\frac {b}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {b'}{r'}}\right)^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424fbb7f898fb901a7479a05681c9f040c15f81e)
![{\displaystyle \left({\frac {a}{r}}\right)\left({\frac {b}{r}}\right)+\left({\frac {a'}{r'}}\right)\left({\frac {b'}{r'}}\right)=0.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809cb9e90eceada00349be1b4e44255fa00856ac)
(10)
Cela posé, les équations (7) peuvent être écrites ainsi :
![{\displaystyle {\frac {a}{r}}x+{\frac {b}{r}}y={\frac {1}{r}},\qquad {\frac {a'}{r'}}x+{\frac {b'}{r'}}y={\frac {1}{r'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b695b9fc1e3febfee38e736acfbd17e21e57c73e)
pour les deux systèmes, on devra avoir, quel que soit ce point,
x^2+y^2=t^2+u^2.\qquad (1)
Présentement les coordonnées
et
devant être des fonctions linéaires de
et
qui doivent s’évanouir en même temps que ces dernières, on peut écrire
![{\displaystyle x=pt+p'u,\qquad y=qt+q'u\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5913142d2627e51935c4ba049832531c666decf9)
(2)
ce qui donnera, en substituant dans (1), transposant et développant,
![{\displaystyle \left(p^{2}+q^{2}-1\right)t^{2}+\left(p'^{2}+q'^{2}-1\right)u^{2}+2(pp'+qq')tu=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8b88fe175d6bc0c1ec504818a76bd061c96eb9)
équation qui, par ce qu’elle doit être identique, donne
![{\displaystyle p^{2}+q^{2}=1,\qquad p'^{2}+q'^{2}=1,\qquad pp'+qq'=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145293e724143cd84e0519d9b1099a3d83b44904)
(3)
D’un autre côté, si l’on prend, tour à tour, la somme des produits des équations (2), d’abord par
et
, puis par
et
, en ayant égard aux relations (3), il viendra
![{\displaystyle t=px+qy,\qquad u=p'x+q'y\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed26216149ba731f0f5e63b5264869fad234e14c)
(4)
substituant dans (1), transposant et développant, on aura
![{\displaystyle \left(p^{2}+p'^{2}-1\right)x^{2}+\left(q^{2}+q'^{2}-1\right)y^{2}+2(pq+p'q')xy=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fc293deee638f1721d9464c7a0c45f20c02ed6)
équation qui, devant aussi être identique, donne
![{\displaystyle p^{2}+p'^{2}=1,\qquad q^{2}+q'^{2}=1,\qquad pq+p'q'=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0817517202606bbf21e5b359b48f98a4c6f76d2)
(5)
relations qui, conséquemment, doivent être équivalentes aux relations (3). Nous nous sommes déjà appuyés sur cette équivalence à la pag. 159 du xii.e volume du présent recueil.
J. D. G.