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le sinus de l’angle du demi-secteur qui est ${\frac {y'}{a}}$ pourra aussi être exprimé par ${\frac {y}{b}}\,;$ l’aire de ce demi-secteur sera donc ${\frac {1}{2}}a^{2}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{b}}\right).$ Pour en conclure celle du segment il faudra en retrancher l’aire d’un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit sont $a-x$ et $y'={\frac {a}{b}}y\,;$; c’est-à-dire, qu’il faudra en retrancher ${\frac {1}{2}}{\frac {a(a-x)y}{b}}\,;$ l’aire du demi-secteur circulaire sera donc

${\frac {1}{2}}a\left\{a\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{b}}\right)-{\frac {(a-x)y}{b}}\right\}\,;$

en la multipliant par le rapport ${\frac {a}{b}},$ on en conclura pour l’aire du demi-secteur elliptique.

${\frac {1}{2}}ab\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{b}}\right)-{\frac {1}{2}}(a-x)y\,;\qquad$(1)

si l’on veut compter les abscisses du centre, on pourra écrire

${\frac {1}{2}}ab\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{y}}\right)-{\frac {1}{2}}xy.$

On sait que

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{b}}\right)={\frac {y}{b}}+{\frac {1.y^{3}}{2.3.b^{3}}}+{\frac {1.2y^{5}}{2.4.5b^{5}}}+{\frac {1.3.5y^{7}}{2.4.6.7b^{7}}}+\ldots$

en substituant cette valeur dans la formule (1) et remplaçant $b^{2}$ par ${\frac {pa}{2}},\ p$ étant le paramètre, il viendra, en réduisant, pour l’expression du demi-segment elliptique