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$\operatorname {f} r=\Sigma {\frac {\int _{0}^{a}Rr\operatorname {f} r.\operatorname {d} r}{\int _{0}^{a}R^{z}r\operatorname {d} r}}\left(\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Cos} .(mr\operatorname {Cos} .\omega )\operatorname {d} \omega \right)\,;$

et cette expression en série sera propre à représenter la fonction $\operatorname {f} r,$ pour toutes les valeurs de la variable, depuis $r=0$ jusqu’à $r=a.$

L’une des racines de l’équation (23) est $m=0\,;$ pour cette valeur de $m$ on a

$Z=1,\quad R=\varpi ,\quad k=0,\quad {\frac {\operatorname {Sin} .kt}{k}},$

et, par conséquent,

$\varphi ={\frac {gt}{\varpi a^{2}}}\Sigma \left(2\varpi \int _{0}^{a}r\operatorname {f} r.\operatorname {d} r\right)\,;$

mais, à cause de l’incompressibilité du fluide, le volume que représente $2\varpi \int _{0}^{a}r\operatorname {f} r.\operatorname {d} r$ doit être égal à zéro, le terme de $\varphi$ qui répond à $m=0$ est donc aussi nul ; et c’est pour cela que nous avons fait abstraction de cette racine de l’équation (23) en développant son premier membre.

(8) Observons, en terminant ce mémoire, que, si l’on différencie l’équation (2) par rapport à $r$, et qu’on ait égard à l’équation (6) ; on en conclura

${\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} r}}=0,$

pour $r=a.$ Si donc on coupe la surface du fluide par un plan passant par l’axe du cylindre, les tangentes aux extrémités de la courbe d’intersection, c’est-à-dire, aux points où cette courbe rencontre la surface du vase, demeureront constamment horizontales,