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ce qui fait disparaître le premier membre de l’équation précédente, et la réduit à

${\frac {\operatorname {d} ^{2}.\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r=0.$

L’intégrale complète de celle-ci est

$\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r=P'\operatorname {Cos} .k't+Q'\operatorname {Sin} .k't\,;\qquad$(16)

$P'$ et $Q'$ désignant deux constantes arbitraires, Pour les déterminer, j’observe 1.^o qu’à l’origine du mouvement, ou quand $t=0$, la valeur de ${\frac {\operatorname {d} \varphi }{g\operatorname {d} t}}$ qui répond à $z=0,$ est donnée par l’équation (2) d’après la figure initiale du fluide ; 2.^o que si l’on a exercé à la surface une percussion quelconque, la valeur de $\varphi$ est aussi donnée, d’après l’expression de cette force, pour $z=0$ et $t=0$. Si donc on fait $t=0$ et $z=0,$ dans l’équation (8) et dans sa différentielle relative à $t,$ les valeurs initiales de $\nu '$ et ${\frac {\operatorname {d} \nu '}{g\operatorname {d} t}}$ seront aussi connues, et de la forme

$\left.{\begin{aligned}\nu '&=\operatorname {F} r\operatorname {Cos} .n\psi +\operatorname {F} 'r\operatorname {Sin} .n\psi ,\\{\frac {\operatorname {d} \nu '}{g\operatorname {d} t}}&=\operatorname {f} r\operatorname {Cos} .n\psi +\operatorname {f} 'r\operatorname {Sin} .n\psi \,;\end{aligned}}\right\}\quad$(17)

$\operatorname {F} r,\operatorname {F} 'r,\operatorname {f} r,\operatorname {f} 'r,$ étant quatre fonctions de la seule variable $r$, qui seront données, dans chaque exemple particulier, depuis $r=0$ jusqu’à $r=a.$ Cela étant, je fais $t=0$ dans l’équation (16) et dans sa différentielle relative à $t\,;$ il vient

$P'=\operatorname {Cos} .nt\int _{0}^{a}R'r\operatorname {F} r.\operatorname {d} r+\operatorname {Sin} .nt\int _{0}^{a}R'r\operatorname {F} 'r.\operatorname {d} r$