ce qui fait disparaître le premier membre de l’équation précédente, et la réduit à
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}.\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce9e61f5a5af8ed608a6615cc2a2f3bb3bf2b4f)
L’intégrale complète de celle-ci est
![{\displaystyle \int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r=P'\operatorname {Cos} .k't+Q'\operatorname {Sin} .k't\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f96b9eac65c997549a44698a8fbbb66c436242)
(16)
et
désignant deux constantes arbitraires, Pour les déterminer, j’observe 1.o qu’à l’origine du mouvement, ou quand
, la valeur de
qui répond à
est donnée par l’équation (2) d’après la figure initiale du fluide ; 2.o que si l’on a exercé à la surface une percussion quelconque, la valeur de
est aussi donnée, d’après l’expression de cette force, pour
et
. Si donc on fait
et
dans l’équation (8) et dans sa différentielle relative à
les valeurs initiales de
et
seront aussi connues, et de la forme
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\nu '&=\operatorname {F} r\operatorname {Cos} .n\psi +\operatorname {F} 'r\operatorname {Sin} .n\psi ,\\{\frac {\operatorname {d} \nu '}{g\operatorname {d} t}}&=\operatorname {f} r\operatorname {Cos} .n\psi +\operatorname {f} 'r\operatorname {Sin} .n\psi \,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc153b0532829ce6b1a72254128daa605500a705)
(17)
étant quatre fonctions de la seule variable
, qui seront données, dans chaque exemple particulier, depuis
jusqu’à
Cela étant, je fais
dans l’équation (16) et dans sa différentielle relative à
il vient
![{\displaystyle P'=\operatorname {Cos} .nt\int _{0}^{a}R'r\operatorname {F} r.\operatorname {d} r+\operatorname {Sin} .nt\int _{0}^{a}R'r\operatorname {F} 'r.\operatorname {d} r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c13250e7caa93153a3fdaca2f5a9ee3d6c44f2)