Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/234

$\int {\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi '}{\operatorname {d} \psi '^{2}}}\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')\operatorname {d} \psi '$

$={\frac {\operatorname {d} \varphi '}{\operatorname {d} \psi '}}\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')-n\varphi '\operatorname {Sin} .n(\psi -\psi ')-n^{2}\int \varphi '\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')\operatorname {d} \psi '\,;$

aux deux limites $\psi '=0$ et $\psi '=2\varpi$, les termes compris hors du signe $\int$ ont la même valeur et disparaissent, en conséquence, dans l’intégrale définie ; on aura donc simplement

$\int _{0}^{2\varpi }{\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi '}{\operatorname {d} \psi '^{2}}}\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')\operatorname {d} \psi '=-n^{2}\int _{0}^{2\varpi }\varphi '\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')\operatorname {d} \psi '.$

D’après cela si l’on met $\psi '$ et $\varphi '\,;$ au lieu de $\psi$ et $\varphi$ dans l’équation (5), que l’on intègre tous les termes depuis $\psi '=0$ jusqu’à $\psi '=2\varpi ,$ après les avoir multipliés par ${\frac {1}{\varpi }}\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')\operatorname {d} \psi '$ et que l’on fasse, pour abréger,

${\frac {1}{\varpi }}\int _{0}^{2\varpi }\varphi '\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')\operatorname {d} \psi '=\nu ,\qquad$(8)

il en résultera

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} r}}-{\frac {n^{2}\nu }{r^{2}}}=0.\qquad$(9)

En même temps les équations (3), (4), (6) donneront celles-ci :

$g{\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} z}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} r}}=0,\qquad$(10)

dont la première aura lieu pour $z=0,$ la seconde pour $z=h$ et