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Présentement, concevons, par le centre de gravité du corps flottant, trois axes rectangulaires fixes par rapport à ce corps, mais mobiles avec lui dans l’espace. Si l’on représente par $a,b,c$ les coordonnées d’un point quelconque relatives à ces axes, nous aurons

$\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'=\operatorname {d} a\operatorname {d} b\operatorname {d} c,$

puisque les deux membres de cette équation représentent également le volume $\mathrm {D} m$ d’une molécule quelconque du corps flottant. Par suite, on aura, en général

$\iiint P\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'=\int P\operatorname {d} a\operatorname {d} b\operatorname {d} c.\qquad$(11)

On parviendrait au surplus à la même conclusion par l’application des procédés connus pour la transformation des intégrales. C’est ainsi que nous transformerons les seconds membres des équations (7) et (9).

Ce qui précède aura toujours lieu, quelles que soient les directions des axes $a,b,c\,;$ de sorte que rien ne nous empêche de supposer que, si le corps flottant était en équilibre, ont eût $x'=a,\ y'=b,\ z'=c.$ Si l’on fait, dans ce cas,

$x'=a+x'',\quad y'=b+y'',\quad z'=c+z'',$

les quantités $x'',y'',z''$ seront très-petites et de même ordre que les vîtesses que peuvent prendre les molécules $\mathrm {D} m\,;$ on pourra donc, sans erreur sensible, négliger les quantités de l’ordre de leurs carrés et produits. De plus, les quantités $x'',y'',z''$ devront être telles que la distance de deux molécules ne soit pas altérée par leur présence et conserve la même valeur que si ces quantités étaient absolument nulles. On peut donc employer, pour les déterminer, les considérations qui nous ont conduit aux équations (2), et poser par conséquent