cercle et de la section faite par ce même plan tangent dans toute autre surface quelconque du second ordre circonscrite à la surface proposée ; ce centre sera donc le foyer de cette section (Poncelet, Propriétés projectives, pag. 261) ; mais la polaire du foyer d’une conique est la directrice relative à ce foyer ; donc,
16. Quand plusieurs surfaces du second ordre sont circonscrites à une surface unique de cet ordre, le plan tangent à cette dernière, à l’une des extrémités d’un des diamètres, lieux des centres des sections circulaires, coupe toutes les autres suivant des coniques qui ont pour foyer commun le point de contact du plan tangent, et dont les directrices respectives sont les droites suivant lesquelles ce plan tangent est coupé par les plans des lignes de contact de la surface enveloppée avec les surfaces enveloppantes.
En remarquant que les sections planes parallèles faites dans un cône ont leurs foyers sur deux droites passant par son sommet, on pourra, du théorème qui vient d’être démontré, conclure le suivant :
17. Si, du sommet d’un cône circonscrit à une surface du second ordre, on mène des droites aux deux extrémités de l’un des diamètres de cette surface, lieux des centres de ses sections circulaires ; tout plan parallèle au plan diamétral conjugué de ce diamètre coupera le cône suivant une conique dont les foyers seront les points où ce même plan sera percé par ces deux droites.
Il résulte de là que :
18. Si plusieurs cônes ont leurs sommets sur une droite passant par une des extrémités de l’un des diamètres, lieux des centres des sections circulaires d’une surface du second ordre ; le plan tangent à cette surface, à l’autre extrémité du même diamètre, coupera tous ces cônes suivant des coniques ayant leurs deux foyers communs, et qui, par conséquent, formeront deux séries d’ellipses et d’hyperboles telles que les courbes de chaque série couperont orthogonalement les courbes de l’autre série.
Le théorème (17) fait voir que,
