GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Mesure du volume du tétraèdre ;
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soit un triangle isocèle
dont la base
soit quelconque et la hauteur égale à une longueur donnée
Soit construite une suite indéfinie d’autres triangles isocèles
tels que les sommets du premier soient les milieux des côtés du triangle
et que les sommets de chacun des autres soient les milieux des côtés de celui qui le précède immédiatement. Il a déjà été remarqué (Annales, tom. xvii, pag. 151), et il est d’ailleurs facile de voir que ces triangles, tous semblables et continuellement décroissans, tendront sans cesse à se réduire à un point unique
, tellement situé sur
ou
qu’on aura
Dans la série des longueurs
![{\displaystyle \mathrm {CC_{1},C_{1}C_{2},C_{2}C_{3},C_{3}C_{4},C_{4}C_{5}} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f1cb6cf1cfa5787bd3cc4a02a1a4a27f627cd9)
chaque longueur sera moitié de celle qui la précède immédiatement, et, comme la première est égale à
on aura
![{\displaystyle \mathrm {C_{1}C_{2}} ={\frac {H}{2}},\ \mathrm {C_{2}C_{3}} ={\frac {H}{4}},\ \mathrm {C_{3}C_{4}} ={\frac {H}{8}},\ \mathrm {C_{4}C_{5}} ={\frac {H}{16}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b9f4c95c75bb9827eb5ffe70897d5c9243f6ba)
on aura donc, d’après cela,
![{\displaystyle \mathrm {C_{1}C_{3}=C_{1}C_{2}-C_{2}C_{3}} ={\frac {H}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e9245714f386acc55403dfa1677fcf7677b934)