![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+\lambda {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\right)x+\left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+\lambda {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}\right)y+\left({\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}+\lambda {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}\right)z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebea7a01eb8ec447818f88720d6082eb8c1f975d)
![{\displaystyle =m(M'+\lambda M'')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5337a9a05e51e2df88ff6c63b18c80cd1934bb46)
ou bien
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}-mM'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6dd0712a2ca67c03c4f5266d83f030e1f436952)
![{\displaystyle +\lambda \left(x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}-mM''\right)=0.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f74a78fef480dc4cec30eff7e1f2225254177e1)
(10)
Or, quelle que soit la valeur attribuée à la constante arbitraire
cette surface polaire passe évidemment par la courbe à double courbure donnée par les deux équations
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=mM',\quad x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=mM'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ce17259e77ad9e3ecfed5189205564aae993dc)
lesquelles ne sont l’une et l’autre que du (m-1).ième degré seulement ; on a donc ces deux théorèmes :
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THÉORÈME V. Si tant de surfaces du m.ième degré qu’on voudra se coupent toutes suivant la même courbe à double courbure ; les surfaces polaires d’un point quelconque de l’espace relatives à toutes celles-là, se couperont toutes aussi suivant une même courbe à double courbure, intersection de deux surfaces du (m-1).ième degré seulement.
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THÉORÈME V. Si tant de surfaces de m.ième classe qu’on voudra sont toutes inscrites à une même surface développable ; les surfaces polaires d’un plan quelconque, relatives à toutes celles-là, seront toutes aussi inscrites à une même surface développable, circonscrite à deux surfaces de (m-1).ième classe seulement.
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C’est là, comme l’on voit, la première partie des deux théorèmes de la pag. 262 du précédent volume, et les quatre autres seraient tout aussi faciles à établir.
Si l’équation
est homogène en
, elle exprimera le