doit donc, d’après cela, éprouver quelque surprise de voir deux courbes de ce degré se couper en neuf points.
Pareillement, quatorze points suffisant sur un plan pour déterminer complètement une courbe du quatrième degré ; et une courbe unique de ce degré pouvant en général être conduite par ces quatorze points ; on ne saurait voir sans surprise deux courbes de ce degré se couper en seize points.
En général, le nombre des points nécessaires, sur un plan, pour déterminer complètement une courbe du m.ième degré est, comme l’on sait, et il n’en saurait passer plus d’une de ce degré par un tel nombre de points. D’un autre côté, deux courbes de ce degré, tracées sur un même plan, peuvent se couper en points. Si donc on choisit le nombre entier , de telle sorte que soit au moins égal à ce qui arrivera pour toutes les valeurs de on aura un exemple de deux courbes du même degré se coupant en autant de points au moins qu’en exigerait la détermination complète de l’une d’elles.
Cramer, dans son Introduction à l’analyse des courbes algébriques, est le premier, je crois, qui ait signalé cette espèce de paradoxe qui s’explique aisément en remarquant que, lorsqu’il est question du nombre des points nécessaires et suffisans sur un plan, pour déterminer complètement une courbe d’un degré déterminé, on sous-entend toujours que ces points sont pris au hasard, et ne sont liés entre eux par aucune relation particulière. Je l’avais rencontré moi-même en discutant la théorie de l’osculation des lignes courbes ; en cherchant, à l’interpréter géométriquement, j’ai été conduit à quelques théorèmes assez singuliers au premier aspect, mais très-féconds en beaux corollaires ; ils ont déjà paru autre part, mais je crois devoir les reproduire ici avec plus de développemens. J’in-
